Krāmera formulas un tās piemērošana

Krāmera formulas - ir viena no precīzas metodes, lai atrisinātu sistēmas lineāro algebrisko vienādojumu (Slough). Tās precizitāte, pateicoties izmantošanu noteicošajiem faktoriem sistēmas matricas, kā arī daži no ierobežojumiem šajā apliecinājuma teorēmu.

Sistēma lineāro algebrisko vienādojumu ar koeficienti pieder, piemēram, daudzus R - reālie skaitļi nezināmo x1, x2, ..., xn ir kolekcija izteiksmes

AI2 x1 + AI2 x2 + ... ain xn = bi ar i = 1, 2, ..., m, (1)

kur Aij, bi - reāli skaitļi. Katrs no šiem apzīmējumiem sauc lineāra vienādojumu, Aij - koeficienti nezināmo, bi - neatkarīgi koeficienti vienādojumu.

solution of (1), kas minēta n-dimensional vektoru x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), pie kura aizvietošana uz sistēmu nezināmo x1, x2, ..., xn, katrs no līnijām sistēmā kļūst vislabāko vienādojumu .

Sistēma tiek saukta konsekventa, ja tas ir vismaz viens risinājums, un pretrunīgi, ja tas sakrīt ar risinājumu kopumu tukšā komplektu.

Jāatceras, ka, lai atrastu risinājumus sistēmas lineāro vienādojumu, izmantojot metodi Cramer, matricas sistēmām ir jābūt kvadrātveida, kas būtībā nozīmē, ka tikpat daudz nezināmo un vienādojumu sistēmas.

Tātad, lai izmantotu Cramer s metodi, jums ir vismaz jāzina, kāds Matrix ir sistēma, lineāro algebrisko vienādojumu, un tas ir izsniegts. Un, otrkārt, lai saprastu, kas ir sauc noteicošais matricas un tās pašas prasmes aprēķinā.

Pieņemsim, ka šīs zināšanas jums piemīt. Brīnišķīgi! Tad jums ir tikai iegaumēt formulas, kas nosaka Kramer metodi. Lai vienkāršotu iegaumēšana izmantot šādu apzīmējumu:

• Det - noteicošais matricu sistēmas;

• deti - ir noteicošais no matrices, kas iegūts no primārā matricu sistēmas, aizvietojot i-th kolonnas matrices uz kolonnas vektors, kura elementi ir labās malas lineāro algebrisko vienādojumu;

• n - skaits nezināmo un vienādojumu sistēmas.

Tad Krāmera formulas aprēķināšana i-th komponents xi (i = 1, .. n) n-dimensional vektors x var tikt rakstīts kā

xi = deti / Det, (2).

Šajā gadījumā, Det stingri atšķiras no nulles.

Par risinājuma sistēmas unikalitāte, kad tā pēc nevienlīdzības nosacījumu noteicošais sistēmas līdz nullei ir kopīgi sniegta. Pretējā gadījumā, ja ir (xi) summa, brusas, stingri pozitīvs, tad SLAE kvadrātveida matrica ir nesasniedzama. Tas var notikt, jo īpaši tad, ja vismaz viens no deti nulle.

Example 1. Lai atrisinātu trīsdimensiju LAU sistēmu izmanto Cramer receptei.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Lēmums. Mēs pierakstīt matricu sistēmas pozīcijai, kur Ai - ir i-tā rinda matricas.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Kolonnas free koeficienti b = (31 29.oktobrī).

Galvenais sistēma ir noteicošais Det
Det = a11 a22 A33 + A12 A23 A31 + A31 A21 A32 - a13 a22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Lai aprēķinātu permutāciju det1 izmantojot a11 = b1, A21 = b2, A31 = b3. tad
det1 = b1 a22 A33 + A12 a23 b3 + A31 b2 A32 - a13 a22 b3 - b1 A32 A23 - A33 b2 A12 = ... = -81.

Līdzīgi, lai aprēķinātu det2 izmantošanas maiņu A12 = b1, a22 = b2, A32 = b3, un, tādējādi, lai aprēķinātu det3 - a13 = b1, a23 = b2, A33 = b3.
Tad jūs varat pārbaudīt šo det2 = -108, un det3 = - 135.
Saskaņā ar formulām Cramer atrast X1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Atbilde: x ° = (3,4,5).

Atsaucoties uz piemērojamību šim noteikumam, metode Kramer risināšanas sistēmas lineāru vienādojumu var izmantot tiešā veidā, piemēram, izpētīt sistēmu par iespējamo skaitu risinājumu atkarībā no vērtības parametra k.

Piemērs 2. Lai noteiktu, pie kādas vērtības parametra k nevienlīdzība | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 ir tieši vienā šķīdumā.

Lēmums.
Šī nevienlīdzība, ko definīcija moduļa funkciju var veikt tikai tad, ja abas izteiksmes ir nulle vienlaicīgi. Tāpēc šī problēma ir samazināts, lai atrastu risinājumu lineāro algebrisko vienādojumu

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Risinājums šai sistēmai tikai tad, ja tas ir galvenais faktors, kas nosaka
Det = k ^ {2} + 1 ir nulle. Ir skaidrs, ka šis nosacījums ir izpildīts visiem reāliem vērtībām parametru k.

Atbilde: visiem reāliem vērtībām parametru k.

Šā veida mērķus var arī samazināt daudzas praktiskas problēmas jomā matemātikā, fizikā un ķīmijā.