Matemātiskais svārsts: periods, paātrinājums un formulas

Mehāniskā sistēma, kas sastāv no materiāla punkta (ķermeņa), kas karājas uz nepastāvīgu nesvarīgu pavedienu (tā masa ir niecīga, salīdzinot ar ķermeņa svaru) vienotā gravitācijas laukā, sauc par matemātisko svārstu (cits vārds ir oscilators). Ir arī citi šīs ierīces veidi. Vītnes vietā var izmantot nesvarīgu stieni. Matemātiskais svārsts var vizuāli atklāt daudzu interesantu parādību būtību. Ar nelielu vibrācijas amplitūdu, tā kustību sauc par harmonisku.

Vispārīga informācija par mehānisko sistēmu

Šīs svārsta svārstību perioda formulu atguva holandiešu zinātnieks Hjigenss (1629-1695). Šī mūsdienu I. Ņūtona ļoti iecienījusi šo mehānisko sistēmu. 1656. gadā viņš izveidoja pirmo pulksteni ar svārsta mehānismu. Viņi mēra laiku ar precizitāti, kas šiem laikiem bija ārkārtēja. Šis izgudrojums ir kļuvis par svarīgu posmu fizisko eksperimentu un praktisko darbību attīstībā.

Ja svārsts atrodas līdzsvara stāvoklī (piekārts vertikāli), gravitācijas spēks tiks līdzsvarots ar vītnes spriegojumu. Plakans svārsts uz neeksplodējamas vītnes ir sistēma ar diviem brīvības pakāpēm ar sakabi. Mainot tikai vienu detaļu, mainās visu to detaļu īpašības. Tātad, ja vītni nomainīs stienis, tad šai mehāniskajai sistēmai būs tikai 1 brīvības pakāpe. Kādas ir matemātiskās svārsta īpašības? Šajā vienkāršākajā sistēmā haosu rašanos ietekmē periodiskas perturbācijas. Gadījumā, kad piekares punkts nepārvietojas, bet svārstās, svārsta virzienā parādās jauna līdzsvara pozīcija. Ar ātru svārstību uz augšu un uz leju šī mehāniskā sistēma iegūst stabilu stāvokli "otrādi". Tam ir savs vārds. To sauc Kapitza svārsts.

Svārsta īpašības

Matemātiskajam svārstam ir ļoti interesantas īpašības. Visus tos apstiprina zināmie fiziskie likumi. Jebkāda cita svārsta svārstību periods ir atkarīgs no dažādiem apstākļiem, piemēram, ķermeņa lieluma un formas, attāluma starp balstiekārtas punktu un smaguma centru, masas sadalījumu attiecībā pret noteiktu punktu. Tieši tāpēc karājas ķermeņa perioda noteikšana ir diezgan izaicinājums. Ir daudz vieglāk aprēķināt matemātiskā svārsta periodu, kura formula parādīsies tālāk. Novērojumu rezultāti par līdzīgām mehāniskām sistēmām var noteikt šādas likumsakarības:

• Ja, noturojot tādu pašu svārsta garumu, tiek apturētas dažādas slodzes, tad to svārstību periods būs vienāds, lai gan to masa ievērojami atšķiras. Tādējādi šāda svārsta laiks nav atkarīgs no kravas masas.

• Ja sistēmas iedarbināšanas laikā svārsts tiek noraidīts ar ne pārāk lielu, bet atšķirīgu leņķi, tas svārstīsies ar tādu pašu periodu, bet dažādās amplitūdās. Kaut arī novirzes no līdzsvara centra nav pārāk lielas, to formas svārstības būs diezgan tuvu harmoniskajām. Šāda svārsta ilgums nav atkarīgs no vibrācijas amplitūdas. Šo mehāniskās sistēmas īpašību sauc par izohronismu (tulkojumā no grieķu valodas "chronos" - laiks, "isos" - vienāds).

Matemātiskā svārsta laikposms

Šis rādītājs ir dabisko svārstību periods. Neskatoties uz sarežģīto formulējumu, pats process ir ļoti vienkāršs. Ja matemātiskā svārsta L virknes garums un smaguma spēka paātrinājums g, tad šī vērtība ir vienāda ar:

T = 2π√L / g

Mazu dabisko svārstību periods nekādā ziņā nav atkarīgs no svārsta masas un svārstību amplitūdas. Šajā gadījumā svārsts pārvietojas kā matemātiskais svārsts ar noteiktu garumu.

Matemātiskā svārsta svārstības

Matemātiskais svārsts svārstās, ko var raksturot ar vienkāršu diferenciālo vienādojumu:

X + ω2 sin x = 0,

Kur x (t) ir nezināms funkcija (tas ir novirzes leņķis no zemākās līdzsvara stāvokļa laikā t, izteikts radijanās); Ω ir pozitīva konstante, ko nosaka no svārsta parametriem (ω = √g / L, kur g ir gravitācijas radītais paātrinājums, un L ir svārsta garums.

Mazo svārstību vienādojums līdzsvara stāvokļa tuvumā (harmoniskais vienādojums) izskatās šādi:

X + ω2 sin x = 0

Svārsta svārsta kustība

Matemātiskais svārsts, kas mazo svārstību padara, pārvietojas gar sinusoīdu. Diferenciālā vienādojuma otrā secība atbilst visām šāda ierosinājuma prasībām un parametriem. Lai noteiktu trajektoriju, jums jānorāda ātrums un koordinātas, no kurām tad nosaka neatkarīgās konstantes:

X = grēks (θ ₀ + ωt),

Kur θ ₀ ir sākuma fāze, A ir svārstību amplitūda, ω ir cikliālā frekvence, kas noteikta no kustības vienādojuma.

Matemātiskais svārsts (formulas lielām amplitūdām)

Šī mehāniskā sistēma, kas svārstās ar ievērojamu amplitūdu, pakļauj sarežģītākus kustības likumus. Šādam svārsta gadījumā tos aprēķina pēc formulas:

Sin x / 2 = u * sn (ωt / u),

Kur sn ir Jakobi sine, kas, ja u <1 ir periodiska funkcija, un mazam u tas sakrīt ar vienkāršu trigonometrisko sinusu. U vērtību nosaka ar šādu izteiksmi:

U = (ε + ω2) / 2ω2,

Kur ε = E / mL2 (mL2 ir svārsta enerģija).

Neiliana svārsta svārstību periodu nosaka pēc formulas:

T = 2π / Ω,

Ja Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K ir elipsveida integrālis un π ir 3,14.

Svārsta kustība pa separatrix

Separatrix ir dinamiskās sistēmas ar divdimensiju fāzes telpa trajektorija. Matemātiskais svārsts virzās pa to neperiodiski. Tajā bezgalīgi tālu brīdī viņš nokrīt no galējās augšējās pozīcijas uz sānu pie nulles ātruma, tad pamazām paceļ to uz augšu. Galu galā tas apstājas, atgriežas sākotnējā stāvoklī.

Ja svārsta svārstību amplitūda tuvojas π , tas norāda, ka kustība uz fāzes plaknes tuvojas separatrīcei. Šajā gadījumā mehāniskā sistēma izpaužas kā haotiska uzvedība, kas ietekmē nelielu periodisku spēku.

Kad matemātiskais svārsts novirzās no līdzsvara stāvokļa ar kādu leņķi φ, rodas gravitācijas tangenss Fτ = -mg sin φ. Mīnus zīme nozīmē, ka šī tangenciālā komponents virzās pretējā virzienā no svārsta novirzes. Ja mēs apzīmējam svārsta pārvietojumu caur x pa loku ar loka rādiusu, tā leņķiskais nobīde ir vienāds ar φ = x / L. Otrais Isaaka Ņūtona likums , kas paredzēts paātrinājuma un spēka vektora projekcijām, dos vēlamo vērtību:

Mg τ = Fτ = -mg sin x / L

Pamatojoties uz šo attiecību, ir skaidrs, ka šis svārsts ir nelineāra sistēma, jo spēks, kurš parasti atdod to līdzsvara stāvoklī, vienmēr ir proporcionāls nevis pārvietojumam x, bet sin x / L.

Tikai tad, kad matemātiskais svārsts veic nelielas svārstības, tas ir harmoniskais oscilators. Citiem vārdiem sakot, tā kļūst par mehānisku sistēmu, kas spēj veikt harmoniskas svārstības. Šī tuvināšana ir praktiski derīga leņķiem 15-20 °. Svārsta svārstības ar lielām amplitūdām nav harmoniskas.

Ņūtona likums maza svārsta svārsta

Ja šī mehāniskā sistēma veic nelielas svārstības, Ņūtona 2. likums izskatīsies šādi:

Mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Pamatojoties uz to, mēs varam secināt, ka matemātiskā svārsta tangenciālais paātrinājums ir proporcionāls tā pārvietojumam ar mīnusa zīmi. Tas ir nosacījums, ar kuru sistēma kļūst par harmonisku oscilatoru. Proporcionalitātes modulis starp pārvietojumu un paātrinājumu ir vienāds ar apļveida frekvences kvadrātu:

Ω02 = g / L; Ω0 = √ g / L.

Šī formula atspoguļo šī tipa svārsta mazo svārstību dabisko biežumu. Pamatojoties uz to,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Aprēķini, kuru pamatā ir enerģijas saglabāšanas likums

Svārsta svārstību kustību īpašības var raksturot arī ar enerģijas saglabāšanas likumu. Jāpatur prātā, ka svārsta potenciālā enerģija gravitācijas laukā ir vienāda ar:

E = mgΔh = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Kopējā mehāniskā enerģija ir vienāda ar kinētisko vai maksimālo potenciālo enerģiju: Epmax = Ekmsx = E

Pēc tam, kad reģistrēts enerģijas saglabāšanas likums, ņem vienādojuma labās un kreisās daļas atvasinājumu:

Ep + Ek = konst

Tā kā konstantes atvasinājums ir 0, tad (Ep + Ek) '= 0. Summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu:

Ep '= (mg / L * x2 / 2) = mg / 2L * 2x * x' = mg / L * v + Ek '= (mv2 / 2) = m / 2 (v2)' = m / 2 * 2v * v '= mv * α,

Tāpēc:

Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + m α) = 0.

Pamatojoties uz pēdējo formulu, mēs atrodam: α = - g / L * x.

Matemātiskā svārsta praktiskais pielietojums

Brīvā kritiena paātrinājums atšķiras atkarībā no ģeogrāfiskā platuma, jo zemes garozas blīvums visā planē nav vienāds. Ja ir klintis ar lielāku blīvumu, tas būs nedaudz lielāks. Ģeoloģisko izpēti bieži izmanto matemātiskā svārsta paātrinājumu. To izmanto, lai meklētu dažādas minerālvielas. Vienkārši aprēķinot svārsta svārstību skaitu, jūs varat atrast zeme ogļu vai rūdas zarnu. Tas ir saistīts ar faktu, ka šādām fosilijām ir blīvums un masa, kas ir lielāka par zem tām esošo lieko iežu.

Matemātisko svārstu izmantoja tādi izcili zinātnieki kā Socrates, Aristotle, Plato, Plutarch, Archimedes. Daudzi no viņiem uzskatīja, ka šī mehāniskā sistēma var ietekmēt cilvēka likteni un dzīvi. Arhimēds savā aprēķinos izmantoja matemātisko svārstu. Mūsdienās daudzi okultiņi un psihika izmanto šo mehānisko sistēmu, lai veiktu savus pravietojumus vai meklē pazudušos cilvēkus.

Slavenais franču astronoms un dabas zinātnieks K. Flammarions savam pētījumam izmantoja arī matemātisko svārstu. Viņš apgalvoja, ka ar viņa palīdzību viņam izdevās prognozēt jaunas planētas atrašanos, Tunguskas meteorīta izskatu un citus nozīmīgus notikumus. Otrā pasaules kara laikā Vācijā (Berlīnē) darbojās specializēts svārsta institūts. Šajās dienās līdzīgi pētījumi tiek veikti arī Minhenes Parapsiholoģijas institūtā. Šīs iestādes darbinieki sauc savu darbu ar svārsta "radeestēziju".