Furjē. Ātrās Furjē. Diskrētā Furjē

Furjē transformācija - transformācija, saistot noteiktu funkciju reālu mainīgo. Šī darbība tiek veikta katru reizi, kad mēs uztveram dažādas skaņas. Ausu ražo automātisko "aprēķinu", kas pilda mūsu var apziņu tikai pēc pārbaudes sadaļā augstāko matemātiku. dzirdes orgāns cilvēka transformācijas konstrukcijas, kurā tiek nodrošināta skaņas (parasto svārstību kustība daļiņu elastīgu nesēja, kas izplatīties viļņu forma, kas cietā, šķidrā vai gāzveida vidi) virknē secīgu vērtībām apjoma līmeni toņu dažāda augstuma. Pēc tam, smadzenes kļūst informāciju iekļaut visu pazīstamo skaņu.

Matemātiskā Furjē

Pārveidošana skaņas viļņu vai citu vibrācijas procesiem (ar gaismas emisijas un okeāna plūdmaiņu un spožajai vai saules cikliem), var veikt, un, izmantojot matemātiskās metodes. Tādējādi, izmantojot šīs metodes, funkcijas var tikt paplašināts, ieviešot svārstību procesus kopu sinusoidālu komponentu, t.i. viļņotās līknes, kas iet no vismaz maksimāli un tad atkal līdz minimumam, piemēram, jūras vilnim. Furjē transformācijas - transformācija funkcija, kas apraksta fāzes vai amplitūdu katra sinusoid atbilst īpaši frekvenču. Fāze ir sākumpunkts līknes, un amplitūda - no tās augstuma.

Furjē (piemēri ir redzams foto) ir ļoti spēcīgs instruments, kas tiek izmantots dažādās zinātnes jomās. Dažos gadījumos, tas tiek izmantots kā risinājumu diezgan sarežģītas vienādojumu, kas apraksta dinamiskos notiekošos procesus ietekmē gaismas, siltuma vai elektrisko enerģiju. Citos gadījumos tas ļauj noteikt regulāras komponentu kompleksu viļņu dēļ tas var būt taisnība, lai interpretētu dažādus eksperimentālos novērojumus ķīmijā, medicīnā un astronomijā.

vēsturiskā informācija

Pirmā persona, lai piemērotu šo metodi, bija franču matemātiķis Zhan Batist Fure. Pārveidošana, vēlāk nosaukta pēc tam, kas sākotnēji tika izmantots, lai aprakstītu siltuma vadīšanas mehānismu. Furjē visu savu pieauguša cilvēka dzīvi, kas nodarbojas ar pētot īpašības siltumu. Viņš ir veicis milzīgu ieguldījumu matemātiskās teorijas noteikšanai saknēm algebrisko vienādojumu. Furjē bija profesors analīzes École Polytechnique, sekretāra institūta Egyptology, bija imperatora pakalpojums, kas izraisīja ažiotāžu brīdī būvniecību ceļu uz Turīnu (viņa vadībā tika skarta vairāk nekā 80 tūkstoši kvadrātkilometru malārijas purvu). Tomēr visu šo aktīvisms neapturēja zinātnieku nodarbojas ar matemātisko analīzi. Tā 1802. gadā tika iegūta vienādojuma, kas apraksta izplatīšanos siltumenerģijas cietvielas. In 1807, zinātnieks atklāja metodi atrisināt šo vienādojumu, kas kļuva pazīstams kā "Furjē".

siltumvadītspēja analīze

Pētnieki izmantoja matemātisko metodi, lai aprakstītu siltuma vadīšanas mehānismu. Ērts piemērs, kurā nav grūti aprēķins ir pavairošana siltumenerģijas ar dzelzs gredzenu, viena daļa iegrimis uguns. Lai veiktu eksperimentus Furjē sarkano karstu daļu gredzenu un aprakt viņam smalkām smiltīm. Pēc tam, temperatūras mērījumus veic uz pretējā daļu. Sākotnēji, siltuma sadalījums ir neregulārs: daļa no gredzena - auksts, un otrs - karsts, starp zonām var novērot strauju temperatūras gradients. Tomēr siltuma sadali visā metāla virsmu laikā, tā kļūst viendabīga. Tātad, drīz vien šis process izpaužas sinusa vilni. Pirmais grafiks pakāpeniski palielinās, un arī samazinās vienmērīgi, precīzi likumus variāciju kosinuss vai sinusa funkciju. Viļņu pakāpeniski izlīdzinās, un kā rezultātā temperatūra kļūst vienādi uz visas virsmas gredzenu.

Šīs metodes autors pieņemts, ka sākotnējais sadalījums ir diezgan neregulāras, var sadalīt vairākos elementāro sine viļņi. Katra no tām būs tās fāzi (sākotnējā pozīcija) un maksimālo temperatūru. Tādējādi katras šādas sastāvdaļas mainās no minimālā uz maksimālo un atpakaļ, lai pabeigtu revolūcija ap gredzenu skaitlim reizes. Komponentu kam periodu, kura tika sauc pamata harmonisko, un vērtību ar diviem vai vairākiem periodiem - otrais, un tā tālāk. Piemēram, matemātiska funkcija, kas raksturo maksimālo temperatūru, fāzes vai ieņemamais sauc Furjē transformācija sadalījuma funkciju. Zinātnieks celta viena sastāvdaļa, kas ir grūti matemātisku aprakstu, lai viegli-to-izmantot rīkus - rindas sine un kosinuss, summu norādot sākotnējo izplatīšanu.

Būtība analīzes

Piemērojot šo analīzi konversiju siltuma sadali uz cietu priekšmetu, kam ir gredzenveida forma, matemātiķis sprieda, ka palielinot periodi sinusoidālu komponentu novest pie straujas slāpēšanu. Tas ir skaidri redzams uz galvenajiem un otrajā harmonikas. Gala temperatūra sasniedz divreiz maksimālās un minimālās vērtības, vienā piegājienā, un pirmajā - tikai vienu reizi. Izrādās, ka nobraukto attālumu ar siltumu otrajā harmoniku ir puse no kodola. Turklāt gradients otrā pusē būs arī straujāka nekā pirmais. Tāpēc, jo intensīvāka siltuma plūsma iet atraitne minimālu distanci, tad tas tiks jānomāc harmoniskais četras reizes ātrāk nekā galvenais, kā laika funkciju. Nākamajā procesā būs vēl ātrāk. Matemātiķis uzskatīja, ka šī metode ļauj aprēķināt procesu sākotnējās izplatīšanas temperatūras ar laiku.

Zvanu laikabiedri

Furjē algoritmu kļuvis izaicinājums teorētiskajiem pamatiem matemātikas brīdī. Jo sākumā deviņpadsmitajā gadsimtā, izcilākajiem zinātniekiem, tostarp Lagrange, Laplass, Puasona, Legendre un Biot nepieņēma viņa apgalvojumu, ka temperatūra sākotnējās izplatīšanas sadalīt komponentiem formā pamata viļņa un augstākas frekvences. Tomēr Zinātņu akadēmija nevarēja ignorēt iegūtos matemātiķis rezultātus, un viņam piešķīra balvu par teoriju siltuma vadītspēju likumiem, kā arī veicot to salīdzinājumu ar fiziskiem eksperimentiem. Furjē pieeju, galvenais iebildums ir tas, ka pārtraukta funkcija pārstāv summu vairāku sinusoidālu funkciju, kas ir nepārtraukta. Galu galā, tie apraksta pārraušanas taisni un izliektas līnijas. Mūsdienu zinātnieks nekad nav radušās šādu situāciju, kad pārtrauktos funkcijas kombinācija nepārtrauktu, piemēram, kvadrāta, lineāras, sine vai izstādes aprakstīti. Gadījumā, matemātiķis bija tiesības viņa apgalvojumiem par bezgalīgu virkni trigonometriskās funkcijas summa būtu tikai precīzu ātrumu. Kaut arī šāda prasība šķiet absurda. Tomēr, neskatoties uz šaubām par dažu pētnieku (piemēram Claude Navier, Sofi Zhermen) paplašināja pētniecības un tos izvedu no analīzes siltuma sadali. Matemātikas, tikmēr turpināja ciest jautājumu par to, vai summa vairāku sinusoidālu funkciju tiek samazināts līdz precīzu pārstāvību sprādzienbīstamību.

200 gadu vēsture

Šī teorija ir attīstījusies divos gadsimtos, šodien tā ir beidzot izveidota. Ar palīdzību telpā vai laikā funkcijas ir sadalītas sinusoidālu komponentiem, kas ir frekvences, fāzes un amplitūdas. Šī pārveidošana iegūst divām dažādām matemātiskām metodēm. Pirmais no tiem tiek izmantots gadījumos, kad avots ir nepārtraukta funkcija, un otrais - gadījumā, ja tas ir pārstāv daudziem diskrētu atsevišķu izmaiņām. Ja izteiksme ir iegūta no vērtībām, kas ir definēti diskrētos intervālos, var iedalīt vairākās diskrētu sinusoidālu frekvenču izteiksmes - no zemākā un pēc tam divas reizes, trīskāršojies, un tā tālāk virs pamata. Šī summa tiek saukta Furjē sērija. Ja sākotnējais izteiksme nosaka vērtības katras reālās numuru, to var sadalīt vairākās sinusoidālu visiem iespējamiem frekvencēm. To sauc par Furjē integrālis, un lēmums nozīmē transformāciju integrālo funkciju. Neatkarīgi no metodes, lai iegūtu transformācijas, katras frekvences ir norādīt divus skaitļus: amplitūdu un frekvenci. Šīs vērtības ir izteiktas kā vienotu kompleksu numuru. Izteiksme sarežģītas mainīgie teorija kopā ar Furjē transformāciju, lai veiktu aprēķinus ļāva dizainu dažādu elektrisko ķēžu, analīze mehānisku vibrāciju, pētījums par viļņu izplatīšanās mehānisma un citu.

Furjē šodien

Mūsdienās, pētījums par šī procesa pamatā vārīties uz leju, lai rastu efektīvus metodes pāreju no funkciju, lai pārvērstu to atpakaļ prātā. Šis risinājums ir sauc par tiešo un apgriezto Furjē. Ko tas nozīmē? Lai noteiktu integrālis un veikt tiešā Furjē, varat izmantot matemātiskās metodes, bet jūs varat analītiku. Neskatoties uz to, ka tad, kad tie tiek izmantoti praksē ir dažas grūtības, vairums integrāļi jau ir atrastas un ieraksta matemātisko rokasgrāmatās. Ar palīdzību skaitlisko metožu var aprēķināt izteiksmes, kuru forma ir balstīta uz eksperimentālajiem datiem, funkciju, kura integrāļi tabulās trūkst, un tie ir grūti iedomāties analītiskā formā.

Pirms Advent datoru inženieru aprēķiniem šādas pārvērtības ir bijis ļoti nogurdinošs, tām nepieciešama manuāla izpildi lielu aritmētisku darbību skaitu, kas ir atkarīgas no vairākiem punktiem, kas raksturo viļņu funkciju. Lai atvieglotu norēķinus mūsdienās, ir īpašas programmas, atļauts ieviest jaunas analītiskās metodes. Tātad, 1965. gadā, Dzheyms Ķūļi un Dzhon Tyuki radīja programmatūru, kas kļuva pazīstams kā "ātrā Furjē pārveidojuma". Tas ietaupa laiku aprēķina, samazinot skaitu pavairošanas analīzē līknes. "Fast Fourier Transform" Metode balstās uz dalot līkni pārvērsti lielā skaitā viendabīgu paraugu vērtības. Attiecīgi skaits reizināšanu tiek samazināts uz pusi, tajā pašā samazināt punktu skaitu.

Piemērojot Furjē transformācijas

Šis process tiek izmantota dažādās jomās: In numuru teoriju, fizikas, signālu apstrādes, kombinatorikas, varbūtību teorija, kriptogrāfija, statistika, okeanogrāfijas, optikā, akustikā, un citu ģeometriju. Rich iespējas izmantošanu ir balstīti uz vairākiem noderīgas funkcijas, kuras sauc par "īpašības Furjē transformāciju." Ļaujiet mums pārbaudīt tos.

1. konversijas funkcija ir lineāra operatora un atbilstošais normalizēšana ir unitāra. Šis īpašums ir pazīstams kā Parseval teorēma, vai vispārējā gadījumā teorēmu Plansherelja vai Pontrjagin duālisms.

2. Konversijas ir atgriezeniska. Turklāt pretējs rezultāts ir būtībā līdzīga forma kā tieša risināšanai.

3. sinusoidālu Pamata izteicieni ir viņu pašu diferencētas funkcijas. Tas nozīmē, ka šāda pārstāvība maina lineārus vienādojumus ar konstantiem koeficientiem ar parasto algebriskā.

4. Saskaņā ar "vijuma" teorēma, process padara sarežģītu operāciju elementāru vairošanos.

5. Diskrētā Furjē transformācija var ātri izstrādāti datorā, izmantojot "ātro" metodi.

Variācijas par Furjē

1. Visbiežāk termins tiek lietots, lai atsauktos uz pastāvīgu transformāciju, nesniedzot nekādu kvadrātiski integrable izteiksmi kā summu sarežģītu eksponenciālo izteiksmes ar konkrētiem leņķa frekvences un amplitūdas. Šī suga ir vairākas atšķirīgas formas, kas var būt dažādi konstantiem koeficientiem. Nepārtrauktā metode ietver pārveidošanas tabulu, kuru var atrast matemātikas rokasgrāmatās. Vispārināts gadījums ir frakcionēti konversijas, kur šis process var tikt paaugstināta līdz vēlamajam reālo jaudu.

2. nepārtraukta metode ir vispārinājums agrāk tehniku Furjē sērijā definēts jebkuru periodiskas funkcijas un izpausmes, kas pastāv ierobežotā teritorijā un pārstāv tos kā virkni sinusoids.

3. Diskrētā Furjē. Šī metode tiek izmantota, lai aprēķinātu zinātniskā aprēķins un digitālo signālu apstrādi. Lai veiktu šāda veida aprēķinu, ir nepieciešams, lai būtu funkcija, nosakot par atsevišķu kopumu atsevišķiem punktiem, periodiska vai ierobežota reģionu, nevis nepārtraukti Furjē integrāļi. Signāla pārveidošanas šajā gadījumā tiek attēlots kā summu sinusoids. Par "ātri" metodes izmantošana ļauj izmantot digitālo risinājumu visiem praktiskiem nolūkiem.

4. logs Furjē ir vispārināts skats klasisko metodi. Atšķirībā no standarta risinājumiem, ja izmanto signāla spektrs, kas tiek veikti ar pilnu pastāvēšanas šī mainīgā īpaši interesē šeit ir tikai vietējā biežuma sadalījums, vienlaikus saglabājot sākotnējo mainīgo (laiks).

5. divdimensiju Furjē. Šī metode tiek izmantota, lai strādātu ar divdimensiju masīvu datus. Šādā gadījumā konversija tiek veikta vienā virzienā, un pēc tam - uz otru.

secinājums

Šodien Furjē metode ir stingri iesakņojusies dažādās zinātnes jomās. Piemēram, 1962. gadā to atklāja formu DNS dubultā spirāle, izmantojot Furjē analīzi kopā ar rentgenstaru difrakcijas metodi. Recent kristāli vērsta uz DNS šķiedrām, kā rezultātā attēlu, kas tiek iegūts, izmantojot difrakciju, kas reģistrēta uz plēves. Šis attēls sniedza informāciju par vērtību amplitūdu, izmantojot Furjē transformācijas šo kristāla struktūru. Phase datus, kas iegūti, salīdzinot DNS difrakcijas kartes ar kartēm, kas iegūti, analizējot līdzīgu ķīmiskās struktūras. Tā rezultātā, biologi atjaunota kristālisko struktūru - sākotnējo funkciju.

Furjē spēlē milzīgu lomu pētījuma kosmosā, fiziku pusvadītāju materiālu un plazmas, mikroviļņu akustiku, okeanogrāfijas, radaru, seismoloģiskos un medicīnisko pārbaužu.