Kas ir aritmētiskā? Aritmētikas pamatteorēma. binārā aritmētika

Kas ir aritmētiskā? Kad cilvēce sāka izmantot numurus un strādāt ar viņiem? Kur ir tās saknes ikdienas jēdzienu, piemēram, skaitļu frakcijas, atņemšanu, saskaitīšanu un reizināšanu, ka persona ir veikusi neatņemama viņa dzīves un perspektīvas? Grieķu prāti apbrīnoja tādas zinātnes kā matemātika, aritmētiskā un ģeometrija, kā skaistu simfoniju cilvēka loģiku.

Varbūt matemātika nav tik dziļa kā citās zinātnēs, bet kas notiks ar tiem, cilvēki aizmirst elementāras reizināšanas tabulas? Pazīstami mums loģisko domāšanu, izmantojot numurus, frakcijas un citus instrumentus, lai sniegtu cilvēkiem grūti, un ilgu laiku nebija pieejama mūsu senči. Patiesībā, pirms attīstībā aritmētikas neviena no cilvēku zināšanu nebija patiesi zinātniski.

Aritmētika - Matemātika ir alfabēts

Aritmētika - zinātne par skaitļiem, ar kuru jebkura persona sāk iepazīšanos ar aizraujošu pasauli matemātiku. Vārdiem M. V. Lomonosova, aritmētiskais - tas ir vārti mācīšanās, atverot ceļu, lai mēs Miropoznanie. Bet viņam ir taisnība, ir zināšanas par pasaules var nodalīt no zināšanām par burtiem un cipariem, matemātikas un runas? Varbūt vecos laikos, bet ne mūsdienu pasaulē, kur straujā attīstība zinātnes un tehnoloģiju pieņem savus likumus.

Vārds "aritmētisko" (grieķu. "Arifmos"), Grieķijas izcelsmes nozīmē "numurs". Tā pārbauda numuru un visu, kas var būt saistīts ar tiem. Šī ir pasaule numuru: dažādas darbības ar skaitļiem, skaitliskās normas, uzdevumiem, kas ir saistīti ar reizināšanas, atņemšanu, un tā tālāk ..

Ir vispāratzīts, ka sākotnējais solis ir aritmētiskais Matemātikas un stabila bāze sarežģītākiem tās sadaļām, piemēram, algebra, matemātiskā analīze, augstākā matemātika un t. D.

Galvenais objekts aritmētikas

Pamats aritmētikas - ir vesels skaitlis, īpašības un likumus, kas tiek uzskatīti par augstāko aritmētiskais vai numuru teorija. Faktiski, kā pareizā pieeja ir pieņemts, ņemot vērā šādu mazu vienību, kā dabas numuru atkarīgs izturību ēkas - matemātiku.

Tāpēc jautājums, kas ir aritmētika, atbilde ir vienkārša: tā ir zinātne par skaitļiem. Jā, par parasto septiņiem, deviņiem un viss šajā daudzveidīgajā sabiedrībā. Un tikpat labi, un visvairāk viduvējs panti nevar uzrakstīt bez pamata alfabētu, bez aritmētiskais nevar atrisināt pat pamatuzdevumus. Tieši tāpēc visi zinātnes ir uzlabotas tikai pēc izstrādes aritmētiskā un matemātikā, kas ir galvenokārt pieņēmumu kopums.

Aritmētika - zinātne, spoku

Kas ir aritmētiskā - dabaszinātnes vai fantoma? Faktiski, kā senie grieķu filozofi pamatots, ne skaitļi, ne skaitļi patiesībā neeksistē. Tas ir tikai fantoms, kas ir izveidots cilvēka domas, apskatot vidi un tās procesiem. Faktiski, kas ir numurs? Nekur apkārt mēs neredzam kaut kā, ko varētu saukt skaits, bet, skaits - tas ir veids, kā iepazīt pasauli cilvēka prātā. Iespējams, šis pētījums mums iekšā sevi? Filozofi strīdēties par to daudzus gadsimtus pēc kārtas, tāpēc, lai sniegtu atbildi izsmeļošu mums nav veikt. Katrā ziņā, aritmētiskais varēja tik cieši ieņemt savu vietu mūsdienu pasaulē neviens nevar uzskatīt par sociāli pielāgot bez zināšanām par tās pamatiem.

Kā tur bija pozitīvs skaitlis

Protams, galvenais mērķis, kas darbojas aritmētisko, - dabas numuru, piemēram, 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... uc Aritmētika dabas numuriem ir rezultāts rēķina parasto objektu, piemēram, govis pļavā. Tomēr, definīcija "daudz" vai "maz", kad kaut kas ir beigusi turēt cilvēkus, un bija izgudrot sarežģītākas skaitīšanas metodi.

Bet reālā sasniegums bija, kad cilvēka prāts ir sasniedzis punktu, kas var būt par vienu un to pašu numuru "divi", lai apzīmētu un 2 kg, un 2 ķieģeļu un 2 daļas. Fakts, ka tas ir nepieciešams, lai abstrakts no formas, īpašības un nozīmi objektu, tad mēs varam ražot kādu darbību ar šiem objektiem veidā pozitīvi veseli skaitļi. Tādējādi bija dzimis aritmētisko skaitļu, kas ir pilnveidota un paplašināta ieņem sabiedrībā.

Šāda padziļināta jēdzienu skaita, kā nulle, un negatīvu skaitļu, frakcijas, skaitļi attiecas uz numuriem citos veidos, ir bagāta un interesanta vēsture attīstību.

Aritmētiskās un praktiskās ēģiptieši

Divi senā cilvēka kompanjons pētījumā pasaulē un ikdienas problēmu risināšanā - šo aritmētiskā un ģeometrija.

Tiek uzskatīts, ka vēsture aritmētikas pirmsākumi senajā Austrumos: Indijā, Ēģiptē, Babilonijā un Ķīnā. Tātad, Rhind papiruss Ēģiptes izcelsmi (tā nosaukts tāpēc, ka pašu nosaukumu, kas pieder īpašniekam), iepazīšanās atpakaļ uz XX gs. BC, papildus citiem vērtīgajiem datiem ietver paplašināšanu daļu apmērā frakciju ar dažādiem saucēju un skaitītāju, kas vienāds ar vienu.

Piemēram: = 2/73 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Bet ko nozīmē šāda kompleksa sadalīšanās? Fakts, ka Ēģiptes pieeja nepieļauj nogrimis domāt par skaitļiem, gluži pretēji, aprēķini tika veikti tikai praktiskiem mērķiem. Tas nozīmē, ka ēģiptieši tiks iesaistīti tādā biznesā kā aprēķiniem, tikai lai veidotu kaps, piem. Tas bija nepieciešams, lai aprēķinātu garumu fin struktūras, un tā ir veikusi, lai cilvēks sēdēt papiruss. Kā redzams, Ēģiptes progress aprēķinos tika saukta, nevis masīvas, ēku, nevis mīlestības zinātni.

Šī iemesla dēļ, aprēķini atrodams papyri, nevar saukt pārdomas par tēmu frakciju. Visticamāk, tas ir praktisks preparāts, kas palīdzēja turpināt atrisināt problēmas ar frakcijām. Senie ēģiptieši nezināja reizināšanas tabulu, ko ražo diezgan garas aprēķinus, sadalīts daudzos apakšuzdevumiem. Iespējams, šis ir viens no tiem apakšuzdevumiem. Tas ir viegli pamanīt, ka aprēķini ar šīm sagatavēm, ir ļoti laikietilpīga un ne ļoti daudzsološa. Varbūt šī iemesla dēļ mēs neredzam lielu ieguldījumu attīstībā seno ēģiptiešu matemātiku.

Senā Grieķija un filozofiskā aritmētiskais

Daudzi no zināšanām par Seno Austrumu veiksmīgi apguva senie grieķi, ir zināms, ka faniem abstraktu, abstrakti un filozofisku pārdomu. Prakse viņus interesē ne mazāk, bet labākie teorētiķi un domātāji ir grūti atrast. Tas bija labs zinātnei, jo matemātika nav iespējams iet dziļi, ne negants ar realitāti. Protams, tas ir iespējams, lai reizināt ar 10 govis un 100 litrus piena, bet nevarēs pārvietot tālu.

Grieķi domāšana dziļi atstāja būtisku zīmi vēsturē, un viņu darbi ir pienācis pie mums:

• Euclid un "Elements".
• Pitagors.
• Arhimēds.
• Eratosthenes.
• Zenon.
• Anaxagoras.

Un, protams, kļūst visu filozofiju grieķiem, un jo īpaši tās sekotāji Pitagors gadījumos bija tik kaislīgi par skaitļiem, kas viņiem noslēpums pasaules harmonija uzskata. Skaitļi ir tik izpēte un izpētīja, ka daži no viņiem un viņu pāriem attiecināt īpašas īpašības. Piemēram:

• Perfect numuri - tiem, kas ir summu no visiem saviem divisors izņemot pati skaitu (6 = 1 + 2 + 3).
• Draudzīgs numuri - šie skaitļi, no kuriem viens ir summa visu dalītāju otrā un otrādi (Pythagorean zina tikai vienu šādu pāri: 220 un 284).

Grieķi, kuri uzskatīja, ka zinātne būtu mīlēja, nevis būt kopā ar viņu labad peļņas, ir krietni, pētot, spēlējot un pievienojot skaitļus. Jāatzīmē, ka ne visi viņu pētījumos ir plaši izmantotas, daži no tiem tikai bija "par skaistumu."

Austrumu domātāji viduslaikos

Tāpat viduslaikos Aritmētika ir parādā savu attīstību uz austrumu laikabiedriem. Indiāņi deva mums skaitļus, ka mēs aktīvi izmantojam tāda lieta kā "nulles", un pozīciju izmaiņu aprēķinu sistēmu, parasto mūsdienīgu uztveri. No Al-putras, kas 15. gadsimtā strādāja Samarkandā, mēs esam mantojuši no decimāldaļas, bez kura ir grūti iedomāties modernu aritmētisko.

Daudzējādā ziņā Eiropa iepazīties ar sasniegumi Austrumos bija iespējama, pateicoties darbam itāļu zinātnieka Leonardo Fibonacci, kurš uzrakstīja grāmatu "Liber Abaci", iepazīstoties ar austrumu inovācijām. Tas ir kļuvis stūrakmens attīstības algebras un aritmētikā, pētniecības un zinātniskās darbības Eiropā.

krievu aritmētika

Visbeidzot, aritmētika, ir atradusi savu vietu, un sakņojas Eiropā sāka izplatīties uz krievu zemes. Krievijas pirmais aritmētiskais publicēts 1703. - tā bija grāmata par aritmētisko Leontiya Magnitskogo. Ilgu laiku tas bija vienīgais apmācība matemātikā. Tā satur sākotnējo mirkļus algebras un ģeometrijas. Dati, kas tika izmantoti piemēri no Krievijas pirmās mācību grāmatas par aritmētiku, arābu. Kaut arī arābu cipari tikušies iepriekš, gravīras iepazīšanās atpakaļ uz 17 gadsimtā.

Grāmata pati par sevi ir dekorēts ar attēliem Arhimēda un Pitagors, un no pirmās lapas - attēla aritmētikas kā sieviete. Viņa sēž tronī, zem tā ir rakstīts ebreju vārda par Dieva vārdu, un par pasākumiem, kas noved pie altāra, kas ierakstīti ar vārdu "rajons", "pieaugums", "papildus", un tā tālāk. D. Var tikai iedomāties, kāda vērtība pievīla tādas patiesības, kas tagad uzskata parastākās.

No 600 lappušu mācību grāmata apraksta par pamatu, piemēram, saskaitīšanu un reizināšanu tabulas, un pieteikumus par navigācijas zinātnēs.

Nav pārsteidzoši, autors ir izvēlējies attēlu Grieķijas domātājiem, kas savā grāmatā, jo viņš pats bija fascinējoši skaistumu aritmētisko, sakot, "Aritmētiski ir chislitelnitsa tur esi godīgi, nezavistnoe ...". Šī pieeja aritmētisko ir pamatots, jo tas ir tā plaši pieņemšanu var uzskatīt sākums straujo attīstību zinātniskās domas Krievijā un vispārējā izglītībā.

neomulīgs PRIMES

Prime numurs - tā ir dabas numurs, kas ir tikai 2 pozitīvi dalītāji: 1 un pati. Visi pārējie skaitļi, izņemot 1. sauc composite. Piemēri prime numuriem: 2, 3, 5, 7, 11, un visi citi, kas nav dalītāji, izņemot 1. un pats numurs.

Attiecībā uz numuru 1, tas ir piemaksas - ir panākta vienošanās, ka tas nav jāuzskata nedz vienkāršs, nedz savienojums. Vienkārši pēc pirmā acu uzmetiena, vienkārši skaitlis slēpj daudz neatrisinātu noslēpumus sevī.

Eiklida ģeometrija 's teorēma saka, ka bezgalīgs skaits PRIMES un Eratosthenes nāca klajā ar īpašu aritmētisko "sietu", kas novērš sarežģītas numurus, atstājot tikai vienkārša.

Tās būtība ir uzsvērt pirmo atjaunot numuru, un tam sekojošajā izsvītrojot tos, kas ir to reizinājumu. Mēs Atkārtojiet šo procedūru vairākas reizes - un iegūt tabulu prime numuriem.

Aritmētikas pamatteorēma

Starp novērojumiem par prime numuriem nepieciešams speciāli pieminēt pamata aritmētisko teorēmu.

Aritmētiskās teorēma apgalvo, ka jebkurš skaitlis, kas lielāks par 1, vai vienkārši, vai to var sadalīt produktā prime skaitu līdz secībā atkārtošanās faktoru, vienīgais veids.

Aritmētikas pamatteorēma izrādījās diezgan apgrūtinoša, un izprast tā nav, piemēram, tikai pamatus.

No pirmā acu uzmetiena, prime numuriem - vienkāršs jēdziens, bet tā nav. Fizika arī reiz uzskatīja pamatskolas atoms, līdz brīdim, kad viņa atrada iekšpusē Visumu. Primes veltīta skaistu stāstu matemātiķis Dons Zagier "Pirmie piecdesmit miljoni prime numuri."

No "trīs āboliem" uz deduktīvs likumos

Tas patiesi var saukt pastiprināta pamats visu zinātni - likumiem aritmētisko. Pat kā bērns visu aritmētiskais seju, pētot skaitu rokām un kājām pie lelles, skaits klucīši, āboliem un tā tālāk. D. Tātad mēs mācīties aritmētisko, kas pēc tam progresē uz sarežģītākām noteikumiem.

Visa mūsu dzīve iepazīstina mūs noteikumiem aritmētikā, kas bija par kopējo cilvēks visnoderīgāko visu šo zinātni dod. Skaitļu pētījums - tas ir "Aritmētiski-bērns", kas iepazīstina cilvēkus uz pasaules numurus, kā cipariem agrā bērnībā.

Augstākā Aritmētika - deduktīvo zinātne, kas pēta likumus aritmētisko. Lielākā daļa no tiem, mēs zinām, lai gan, iespējams, mēs nezinām savu precīzu formulējumu.

Likums par saskaitīšanu un reizināšanu

Jebkuri divi veseli skaitļi A un B var izteikt kā summu A + B, kas ir arī dabas numuru. Attiecībā pievienošanu, šādus likumus:

• Commutative, ka saka, ka permutation terminu vietās summa nemainās, vai a + b = b + a.
• Asociatīvas ka minētā summa nav atkarīgs no metodes grupēšanas noteikumus vietās, vai A + (B + C) = (a + b) + C.

Noteikumi aritmētiskās, piemēram, tam, - viens no pamata, bet tie tiek izmantoti visi zinātņu, nemaz nerunājot par ikdienas dzīvi.

Jebkura divi veseli skaitļi a un b var izteikt produktā vai b * a * b, kas ir arī dabas numuru. Lai piemērotu produktam pašus Commutative un asociatīvās likumus attiecībā uz papildus:

• a * b = b * A;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Tas ir interesanti, ka ir likums, kas apvieno saskaitīšanu un reizināšanu, kas pazīstams arī kā izplatīšanas vai sadales likumu:

A (b + c) = ab + ac

Šis likums māca mūs strādāt ar kronšteiniem, atverot tos, tāpēc mēs jau varam strādāt ar vairāk sarežģītas formulas. Tie ir likumi, kas novedīs mūs caur dīvaini, bet sarežģītā pasaulē algebra.

Likums aritmētika kārtība

par likumiem cilvēka loģikas tā izmanto katru dienu, pārbaudot savu pulksteni un skaitīt rēķinus. Un, tomēr, un tas būtu pārvērst konkrētā valodā.

Ja mums ir divu naturālu skaitļu a un b, tad šādas iespējas:

• a ir vienāda ar B, vai a = b;
• mazāk nekā b, vai
• a ir lielāks nekā b, vai> B.

No trim variantiem vienkārši var būt tikai viens. Pamatlikums, kas reglamentē kārtību, sacīja: ja a

Ir arī likumi, kas saistās rīcību rīkojuma saskaitīšanu un reizināšanu: ja

Likumi aritmētiskās māca mūs strādāt ar skaitļiem, zīmēm un kronšteini, pārvēršas harmoniskā simfonijas numuru viss.

Pozicionālo un nonpositional numurēšanas sistēma

Mēs varam teikt, ka skaitļi - tā ir valoda matemātikā, no ērtības, kura atkarīga no daudzām lietām. Ir daudzas sistēmas aprēķinu, kas, tāpat kā alfabētu dažādās valodās atšķiras.

Apsveriet numuru sistēmu no punkta ietekmes pozīcijām uz kvantitatīvu vērtību cipara šajā pozīcijā. Piemēram, romiešu sistēma nonpositional kur katrs skaitlis ir kodēts ar konkrētu kopu speciālās rakstzīmes: I / V / X / L / C / D / M. Tie ir, attiecīgi, skaitļi 1/5/10/50/100/500 / 1000. Šajā sistēmā, tad skaitlis nemaina savu kvantitatīvu noteikšanu, atkarībā no tā, kādā pozīcijā tā ir: .. pirmais, otrais utt Lai iegūtu citus numurus, ir nepieciešams noteikt bāzi. Piemēram:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Vairāk pazīstams mums skaitīšanas sistēma izmanto arābu ciparus ir pozicionālā. Šādā sistēmā skaits novadīšanas nosaka ciparu skaitu, piemēram, trīs ciparu numuri: 333, 567, utt Ja kāds no budžeta izpildes svars ir atkarīga no stāvokļa, kurā skaitlis ir viens vai otrs, piem 8 skaitlis otrajā pozīcijā ir vērtība 80. Tā ir tipiska decimāldaļu sistēmā, ir arī citi pozicionālo sistēma, piemēram, bināro.

binārā aritmētika

Mēs esam pazīstami decimal sistēma, kas sastāv no viena bitu un multi-bitu skaitu. Attēlā pa kreisi ar ciparu numuru ir desmit reizes lielāka nozīme uz vienu labajā pusē. Tātad, mēs izmantojām, lai lasītu 2, 17, 467, un tā tālāk. D. Tā ir cita loģika un pieeju sadaļa, ko sauc par "binārā aritmētika." Tas nav pārsteidzoši, jo binārā aritmētika nav radīts cilvēku loģiku, un datoram. Ja aritmētiskais skaitļu cēlies no uzskaites, kas vēl vairāk paņemt no priekšmeta īpašuma "kails" aritmētisko, tad tas nestrādās ar datoru. Lai varētu dalīties savās zināšanās ar datoru, cilvēks bija izgudrot modeļa aprēķinu.

Binārā aritmētika strādā ar bināro alfabētu, kas sastāv tikai no 0 līdz 1. Un izmanto šo alfabēta sauc binārā sistēma.

Atšķirībā binārā aritmētika aiz komata, ka nozīme pozīciju pa kreisi vairs 10, un 2 reizes. Binārās skaitļi ir formā 111, 1001 un tā tālāk. D. Kā mēs saprotam šos numurus? Tātad, mēs uzskatām numuru 1100

1. Pirmais cipars pa kreisi - 1 * 8 = 8, paturot prātā, ka ceturtais cipars, kas nozīmē, ka tas ir jāreizina ar 2, mēs iegūtu 8 pozīciju.
2. Otrais cipars 1 * 4 = 4 (amats 4).
3. Trešais ciparu 0 * 2 = 0 (pozīcija 2).
4. Ceturtais cipars 0 * 1 = 0 (pozīcija 1).
5. Tātad mūsu numuru 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Tas nozīmē, ka pāreja uz jaunu kategoriju kreisajā pusē tās nozīmi binārā sistēmā tiek reizināta ar 2, un aiz komata - līdz 10. Šāda sistēma ir viens trūkums: tas ir pārāk liels izaugsmes biti, kas ir nepieciešami, lai reģistrētu numurus. Piemēri zīmēm aiz numurus dvochinyh kā redzams tabulā.

Decimal numuri tiek pārstāvētas binārā formā zemāk.

To lieto arī astotnieku un sešpadsmitnieku numurēšanas sistēmu.

Tas noslēpumaina aritmētika

Kas ir aritmētika, "divi plus divi" vai neizpētītās mistērijas numuriem? Kā jūs varat redzēt, aritmētika, var, un tas šķiet pirmajā acu uzmetienā vienkāršs, bet tas nav skaidrs maldinoša viegli. Ir iespējams mācīties bērnus, un kopā ar krustmāti Pūces no multfilmas "aritmētiskās-bērnu", un jūs varat nirt dziļi zinātnisko pētījumu gandrīz filozofisks pasūtījuma. Vēsturē tā ir aizgājuši no skaitīšanas objektus pielūgt skaistumu numurus. Viena lieta ir pārliecināts: ar izveidošanu pamata postulātiem aritmētikas, visi zinātne var paļauties uz viņas spēcīgu plecu.