No leņķu trīsstūris summa. Teorēma par summu leņķu trīsstūris

Trijstūris ir daudzstūris ar trim pusēm (trīs leņķi). Visbiežāk, daļa apzīmē ar mazajiem burtiem, kas atbilst lielo burtu, kas pārstāv pretējas virsotnes. Šajā rakstā mēs apskatīt šos ģeometrisku figūru, teorēma, kas definē, kas ir vienāda ar summu leņķu trīsstūris veidiem.

Veidi lielākie leņķi

Turpmāk veidi daudzstūris ar trim virsotnēm:

• akūta četrstūrainu, kurā visi leņķi ir asas;
• taisnstūra, kam viena pareizā leņķī, sānu veidojot to, kas minēts uz kājām, un puse, kas ir novietots iepretim pareizā leņķī sauc hipotenūza;
• plats kad viens leņķis ir plats ;
• vienādsānu, kuru divas malas ir vienāds, un tos sauc par sānu, un trešais - trijstūris ar bāzi;
• vienādsānu kam ir vismaz trīs vienādus pusēs.

īpašības

Piešķirt galvenās īpašības, kas raksturīgas katra trīsstūra veida:

• pretī lielākais puse vienmēr ir lielāks leņķis, un otrādi;
• ir vienāds leņķi pretī vienlīdzīgas lielākā puse, un otrādi;
• jebkurā trijstūrī ir divi akūti leņķi;
• ārējais leņķis ir lielāks par jebkura iekšējā leņķa nav piegulošās;
• jebkuru divu leņķu summa vienmēr ir mazāka par 180 grādiem;
• ārējais leņķis ir vienāds ar summu no pārējiem diviem stūriem, kas nav mezhuyut ar viņu.

Teorēma par summu leņķu trīsstūris

Teorēma teikts, ka, ja jūs pievienot visus stūrus, ģeometriskas formas, kas atrodas Eiklīda plaknē, tad to summa būs 180 grādi. Mēģināsim pierādīt šo teorēmu.

Ļaujiet mums ir patvaļīgu trijstūri ar virsotnes KMN. Augšdaļā M rīkos tiešu paralēli līnijas KN (pat šī līnija sauc Eiklida ģeometrija). Jāatzīmē punktu A tā, ka punkti K un A ir izvietoti no dažādām pusēm līnijas MN. Mēs iegūt to pašu leņķi AMS un MUF, kas, tāpat kā iekšpusē, atrodas šķērsām, lai veidotu krustojošos MN kopā ar tiešo CN un MA, kas ir paralēlas. No tā izriet, ka leņķu trīsstūra, kas atrodas pie virsotnes M un N summa ir vienāda lieluma CMA leņķa. Visi trīs leņķi sastāv no summas, kas vienāda ar summu leņķi KMA un MCS. Tā kā dati ir iekšējie leņķi relatīvās novietotās paralēlas līnijas CL un CM MA pie krustojas, to summa ir 180 grādi. Tas pierāda teorēmu.

rezultāts

No iepriekš minēto teorēmu nozīmē šādu secinājums: katrs trijstūris ir divas akūtu leņķi. Lai to pierādītu, pieņemsim, ka šis ģeometriskā figūra ir tikai viens akūtu leņķi. Jūs varat arī pieņemt, ka neviens no stūriem, nav asas. Šajā gadījumā tas ir vismaz divi leņķi, kura apjoms ir vienāds vai lielāks par 90 grādiem. Bet tad leņķu summa ir lielāka par 180 grādiem. Bet tas nevar būt, jo saskaņā ar teorēmu summa leņķu trīsstūris ir vienāds ar 180 ° - ne vairāk, ne mazāk. Tas ir tas, ko bija jāpierāda.

Īpašuma ārpus stūri

Kāda ir leņķu trīsstūris, kas ir ārējā summa? Atbilde uz šo jautājumu var iegūt, izmantojot vienu no diviem veidiem. Pirmais ir tas, ka jums ir nepieciešams, lai atrastu summu leņķiem, kas tiek veikti pa vienam katra virsotne, tas ir, trīs leņķi. Otrais nozīmē, ka jums ir nepieciešams, lai atrastu summu sešiem leņķiem pie virsotnes. Lai cīnītos ar sākuma pirmā iemiesojums. Tādējādi trīsstūris ir sešas ārējās stūriem - augšpusē katram no diviem. Katram pārim ir vienādas leņķi starp sevi, jo tie ir vertikālā:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Turklāt ir zināms, ka ārējā stūris trijstūri ir vienāds ar summu divu interjeru, kas ir ne mezhuyutsya ar viņu. Tāpēc,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

No tā var secināt, ka no ārpuses leņķiem, kas veikti pa vienam pie katras virsotne summa būs vienāda ar:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Ņemot vērā to, ka no leņķu summa ir vienāda ar 180 grādiem, var apgalvot, ka ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Tas nozīmē, ka ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Ja tiek izmantots otrais variants, tad no sešām leņķu summa būs attiecīgi lielāka divreiz. Ti summa leņķu trīsstūris ārpuses būs:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

trijstūris

Kas ir vienāda ar summu leņķu trijstūris, ir sala? Atbilde ir, atkal, no teorēmu, kas nosaka, ka leņķi trijstūra pievienot līdz 180 grādiem. Skaņas mūsu apliecinājums (īpašums) ir šāds: ar trijstūris asi stūri pievienot līdz pat 90 grādiem. Mēs pierādītu savu patiesumu. Pieņemsim, ka ir dots trijstūris KMN, kas ∟N = 90 °. Tas ir nepieciešams, lai pierādītu, ka ∟K ∟M = + 90 °.

Tādējādi, saskaņā ar teorēmu par summu, ko veido leņķi ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. Šajā stāvoklī, kādā tas ir teikts, ka ∟N = 90 °. Izrādās ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Tas ir ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Tas ir tas, ko mums vajadzētu pierādīt.

Papildus iepriekš minētajām īpašībām trijstūris, varat pievienot šos:

• leņķi, kas guļ pret kājām ir asi;
• hipotenūza no trīsstūrveida lielāks nekā jebkurš no kājām;
• summa no kājām vairāk nekā hipotenūza;
• kāja no trīsstūra, kas atrodas iepretī leņķis ir 30 grādi, puse no hipotenūza, kas ir vienāda ar tā pusi.

Kā cita īpašuma ģeometriskās formas var atšķirt Pitagora teorēmu. Viņa apgalvo, ka trīsstūrī ar leņķī 90 grādiem (taisnstūra), tad kvadrātu kāju summa ir vienāda ar kvadrātu hipotenūza.

No leņķu vienādsānu trijstūra summa

Agrāk mēs teicām, ka vienādsānu trijstūris ir daudzstūris ar trīs virsotnes, kas satur divas vienādas puses. Šis īpašums ir pazīstams ģeometrisko skaitlis: leņķi pie tā pamatnes vienādi. Ļaujiet mums pierādīt to.

Veikt trīsstūri KMN, kas ir vienādsānu, SC - savu bāzi. Mums ir jāpierāda, ka ∟K = ∟N. Tātad, pieņemsim, ka MA - KMN ir bisektrise mūsu trijstūri. ICA trijstūris ar pirmo zīmi vienlīdzības ir trijstūris MNA. Proti, ar hipotēzi ņemot vērā, ka CM = NM, MA ir kopīga puse, ∟1 = ∟2, jo MA - tas bisektrise. Izmantojot vienlīdzību divu trijstūru, varētu apgalvot, ka ∟K = ∟N. Līdz ar to teorēma ir pierādīta.

Bet mēs esam ieinteresēti, kas ir par leņķu trīsstūris (vienādsānu) summa. Tā šajā sakarā tai nav savas funkcijas, mēs sāksim no teorēmu iepriekš apspriesti. Tas ir, mēs varam teikt, ka ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, vai 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (kā ∟K = ∟N). Tas ne pierādīt īpašumu, kā teorēmu par summu leņķu trīsstūris tika pierādīts iepriekš.

Izņemot uzskata īpašībām stūriem trīsstūris, ir arī tādi nozīmīgi paziņojumi:

• in vienādmalu trijstūra augstumu, kas tika pazemināts uz pamatnes, vienlaicīgi ir vidējais bisektrise no leņķa, kas ir starp vienādās pusēs un simetrijas asi uz tā pamatnes;
• mediāna (bisektrise, augstums), kas notiek uz pusēm ar ģeometrisko skaitlis, ir vienādi.

vienādmalu trijstūris

To sauc arī labi, ir trijstūris, kas ir vienādi visām pusēm. Un tāpēc arī vienādas un leņķi. Katrs no tiem ir 60 grādi. Ļaujiet mums pierādīt šo īpašumu.

Pieņemsim, ka mums ir trīsstūri KMN. Mēs zinām, ka KM = HM = KH. Tas nozīmē, ka, saskaņā ar īpašumu leņķi, kas atrodas pie pamatnes ar vienādmalu trīsstūra ∟K = ∟M = ∟N. Tā, saskaņā ar summu leņķu trīsstūris teorēmu ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, tad x 3 = 180 ° ∟K vai ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Tādējādi apgalvojums ir pierādīts. Kā redzams no iepriekš minētajiem pierādījumiem, pamatojoties uz iepriekš minēto teorēmu, summa leņķiem ir vienādmalu trijstūra, jo summa leņķu jebkuras citas trijstūrī ir 180 grādi. Vēlreiz pierāda šo teorēmu nav nepieciešama.

Ir vēl daži raksturīgi vienādmalu trijstūra īpašības:

• vidējais bisektrise augstums ģeometrisko skaitlis identiski, un to garums ir aprēķināts kā (A X √3): 2;
• ja šis daudzstūris circumscribing apli, tad rādiuss ir vienāds ar (a x √3): 3;
• ja uzrakstīts apļa vienādmalu trīsstūra, tā rādiuss būtu (a x √3): 6;
• platība ģeometrisko skaitlis tiek aprēķināta pēc formulas: (a2 x √3): 4.

stulbs trijstūris

Saskaņā ar definīciju, platleņķa trīsstūris, viens no tās stūriem, ir robežās no 90 līdz 180 grādiem. Taču, ņemot vērā to, ka pārējie divi leņķi ģeometriskās formas asu, var secināt, ka tie nepārsniedz 90 grādus. Tāpēc leņķu trīsstūris teorēmu summa strādā aprēķinot summu no leņķiem ir stulbs trijstūrī. Tātad, mēs varam droši teikt, pamatojoties uz iepriekš minēto teorēmu, ka no divkāršie leņķu trīsstūris summa ir 180 grādi. Arī šī teorēma nav nepieciešams atkārtoti pierādījumus.