No plaknes vienādojumu: kā padarīt? Types plaknes vienādojumu

Plakne telpu var definēt dažādos veidos (viens punkts un vektoru, tad vektoru un divi punkti, trīs punkti, uc). Tas ir ar šo prātā, plakne vienādojums var būt dažādi veidi. Arī ar zināmiem nosacījumiem plakne var būt paralēli, perpendikulāri, krustojas, uc Par šo un runāt šajā rakstā. Mēs iemācīties veikt vispārēju vienādojumu plaknes un ne tikai.

Normālo forma no vienādojuma

Pieņemsim R ir telpa _3, kurai ir taisnstūra koordinātu sistēmas XYZ. Mēs definēt Vektors, α, kas tiks atbrīvoti no sākuma punktu O. Caur beigām vektoru alfa izdarīt P plakne, kura ir perpendikulāra to.

Apzīmē P pie patvaļīgs punkts Q = (x, y, z). Rādiuss vektors Q punkts zīmi burtu p. Vektora garums ir vienāds ar alfa p = IαI un Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Šī vienība vektors, kas ir vērsts virzienā, kā vektoru alfa. α, β un γ - ir leņķi, kas veidojas starp nesēju un pozitīvās virzienos Ʋ space asis x, y, z attiecīgi. No punkta uz vektoru QεP Ʋ projekcija ir konstante, kas ir vienāda ar p (p, Ʋ) = P (r≥0).

Iepriekš minēto vienādojumu ir nozīme, kad p = 0. Vienīgā n plakne šajā gadījumā, šķērsotu punkts O (α = 0), kas ir izcelsmes, un vienība vektoru Ʋ, atbrīvo no punkts O būs perpendikulāra P, kaut arī tā virzienu, kas nozīmē, ka vektors Ʋ noteikts līdz zīmi. Iepriekšējais vienādojums ir mūsu plakne P, izteikts vektoru formā. Bet, ņemot vērā tā koordinātām, ir:

P ir lielāks par vai vienāds ar 0. Mēs esam atraduši plaknes vienādojumu normālā formā.

Vispārējais vienādojums

Ja vienādojums koordinātas reizina ar jebkuru numuru, kas nav vienāds ar nulli, mēs iegūstam vienādojumu līdzvērtīga tas, kas nosaka pašu lidmašīnu. Tas ir šāda forma:

Šeit, A, B, C - ir skaitlis no vienlaicīgi atšķirīgs no nulles. Šis vienādojums sauc vienādojums vispārējās formas plaknes.

Vienādojumu plaknēm. Īpaši gadījumi

Vienādojumu parasti var grozīt ar papildu nosacījumiem. Aplūkosim dažus no tiem.

Pieņemsim, ka koeficients A ir 0. Tas norāda, ka plakne, kas ir paralēla iepriekš asi SOx. Šajā gadījumā, forma vienādojuma mainās: Wu + Cz + D = 0.

Tāpat forma vienādojumu un atšķirsies ar šādiem nosacījumiem:

• Pirmkārt, ja B = 0, vienādojums izmaiņas Axe + Cz + D = 0, kas norāda paralēlismu uz asi Oy.
• Otrkārt, ja C = 0, tad vienādojums tiek pārveidots Axe + By + D = 0, tas ir, apmēram paralēli iepriekš asi Oz.
• Treškārt, ja D = 0, vienādojums parādīsies kā Ax + By + CZ = 0, kas nozīmē, ka plakne šķērso O (izcelsmes).
• Ceturtkārt, ja A = B = 0, vienādojums izmaiņas Cz + D = 0, kas apliecina paralelitātes Oxy.
• Fifth, ja B = C = 0, vienādojumu kļūst Ax + D = 0, kas nozīmē, ka plakne ir paralēla Oyz.
• Sestkārt, ja A = C = 0, vienādojumu izpaužas Wu + D = 0, t.i., ziņo paralēlisma Oxz.

Form vienādojuma segmentos

Gadījumā, ja skaitļi A, B, C, D atšķirīgs no nulles, forma vienādojuma (0) var būt šādi:

x / a + y / b + z / c = 1,

kur a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Mēs saņemam kā rezultātā vienādojums plaknē gabalos. Jāatzīmē, ka šī lidmašīna krustojas x ass vietā ar koordinātām (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), un Oz - (0,0, s).

Ņemot vērā vienādojumu x / a + y / b + z / c = 1, tas nav grūti iedomāties izvietojuma plakne, salīdzinot ar iepriekš noteiktu koordinātu sistēmā.

Koordinātes normālā vektora

Normālo vektors n pret plakni P ir koordinātes, kas ir koeficienti vispārēju vienādojumu no plaknes, t.i., n (A, B, C).

Lai noteiktu koordinātas parasto n, tas ir pietiekami, lai zināt vispārēju vienādojumu doto lidmašīnu.

Lietojot vienādojumu segmentiem, kas ir forma x / a + y / b + z / c = 1, kā, izmantojot vispārējo vienādojumu var rakstīts koordinātes jebkurā parastā vektora dota plakne: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Jāatzīmē, ka parastais vektors, lai palīdzētu atrisināt dažādas problēmas. Visbiežāk problēmas izpaužas necaurlaidīgās perpendikulārā vai paralēlās plaknēs, uzdevumu atrast leņķi starp plaknēm vai leņķiem starp lidmašīnu un taisnas līnijas.

Tips saskaņā ar plakni vienādojumu un koordinātām ar punktu normālā vektors

Nenulles vektors n, kas ir perpendikulāra attiecīgajā plaknē, ko sauc par normālo (normāls), lai iepriekš noteiktu plakni.

Pieņemsim, ka koordinātu telpā (taisnstūra koordinātu sistēma) Oxyz noteikts:

• Mₒ punkts ar koordinātām (hₒ, uₒ, zₒ);
• nulle vektors n = A * i + B * j + C * K.

Jums ir nepieciešams, lai vienādojumu plaknes, kas iet caur Mₒ perpendikulāri normālu n.

In telpā mēs izvēlēties jebkuru patvaļīgu punktu un apzīmē M (x, y, z). Let rādiusu vektoru Katra punkta M (x, y, z) būs r = x * i + y * j + z * k, un rādiuss vektors no punktveida Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Punkts M, pieder attiecīgajā plaknē, ja vektors MₒM perpendikulāri vektora n. Mēs rakstīt stāvokli Ortogonalitātes skalāro produktu, izmantojot:

[MₒM, n] = 0.

Tā MₒM = r-rₒ, vektora vienādojums plaknes izskatīsies šādi:

[R - rₒ, n] = 0.

Šo vienādojumu var būt arī citu formu. Šim nolūkam īpašības no skalārā produkts, un pārveidots kreisajā pusē vienādojumu. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Ja [rₒ, n] apzīmēts kā s, iegūst šādu vienādojumu: [r, n] - a = 0 vai [r, n] = s, kas izsaka noturības izbīdījumus normālu vektoru rādiusa-vektoru no dotajiem punktiem, kas pieder plaknē.

Tagad jūs var iegūt koordinātu tips ierakstīšana plakne mūsu vektors vienādojuma [r - n rₒ,] = 0. Tā kā r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, un n = A * i + B * j + C * K, mums ir:

Izrādās, ka mums ir vienādojums veidojas plakne, kas iet caur punktu perpendikulāri parasto n:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Tips saskaņā ar plakni vienādojumu un koordinātes diviem punktiem no vektors plaknes kolineāri

Mēs definēt diviem patvaļīgi punktiem M '(X', y ', Z') un M "(x", y "Z"), kā arī vektoru (a ", A", A ‴).

Tagad mēs varam rakstītu vienādojumu iepriekš noteikts plakni, kura iet caur esošo punktu M 'un M ", un katrai punktu ar koordinātēm M (x, y, z) paralēli uz doto vektors.

Tādējādi M'M vektori x = {x ', y-y'; zz '} un M "M = {x" -X', y 'y'; z "-z"} vajadzētu būt coplanar ar vektoru a = (a 'A ", A ‴), un tas nozīmē, ka (M'M M" M, a) = 0.

Tātad mūsu vienādojums no plaknes telpā izskatīsies šādi:

Tips lidmašīnu vienādojuma, šķērsojot trīs punktus

Teiksim mums ir trīs punkti: (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ have ‴, z ‴), kas nepieder pie tās pašas līnijas. Tas ir nepieciešams, lai rakstītu vienādojumu plakni, kas iet caur trim punktiem, kuri noteikti. ģeometrija teorija apgalvo, ka šāda veida lidmašīnu nepastāv, tas ir tikai viens, un tikai. Tā kā šī plakne šķērso punktu (X ', y', z '), tās vienādojums forma būtu:

Šeit, A, B, un C ir atšķirīgs no nulles, tajā pašā laikā. Arī ņemot vērā plakne šķērso vairāk divi punkti (x ", y", z ") un (x ‴, y ‴, z ‴). Šajā sakarā būtu jāveic šāda veida nosacījumiem:

Tagad mēs varam izveidot vienotu sistēmu vienādojumu (lineāro) ar nezināmo u, v, w:

Mūsu gadījumā x, y vai z apzīmē patvaļīgu punktu, kas atbilst vienādojuma (1). Ņemot vērā, vienādojumu (1), un ar vienādojumu sistēmu (2) un (3) vienādojumu sistēmas, kas norādīti attēlā iepriekš, vektoru atbilst N (A, B, C), kas ir netriviāls. Tas ir tāpēc, ka noteicošais sistēmas ir nulle.

Vienādojums (1), ka mēs esam ieguvuši, tas ir vienādojums plaknē. 3. punkts viņa tiešām iet, un tas ir viegli pārbaudīt. Lai to izdarītu, mēs paplašināt determinantu ar elementiem pirmajā rindā. No esošās īpašības noteicošais izriet, ka mūsu plakne vienlaicīgi šķērso trīs sākotnēji iepriekšnoteiktā punkta (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Tāpēc mēs nolēmām dot uzdevumu priekšā mums.

Divplakņu leņķis starp plaknēm

Divplakņu leņķis ir telpisko ģeometriska forma ar divām pusi-plaknes, kas izplūst no taisnas līnijas veidojas. Citiem vārdiem sakot, daļa telpu, kas ir ierobežots ar pusi-lidmašīnām.

Pieņemsim, ka mums ir divi lidmašīnu ar šādiem vienādojumiem:

Mēs zinām, ka vektors N = (A, B, C), un N¹ = (A¹, H¹, S¹) saskaņā ar iepriekš plaknēm ir perpendikulāri. Šajā sakarā leņķis φ starp pārnēsātāju N un N¹ vienāds leņķis (diedriskās), kas atrodas starp šīm plaknēm. Skalāro produkts tiek dota pēc:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

tieši tāpēc, ka

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (å ² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Tas ir pietiekami, lai uzskatītu, ka 0≤φ≤π.

Faktiski divām plaknēm, kas krustojas, veidojot divus leņķis (divskaldnis): φ ₁ un φ _2. To summa ir vienāda ar π (φ ₁ + φ ₂ = π). Attiecībā uz to mājīgumu, to absolūtās vērtības ir vienāds, bet tie ir atšķirīgi apzīmējumi, tas ir, cos φ ₁ = -cos φ _2. Ja vienādojumā (0) aizstāj ar A, B un C -A, -B un -C attiecīgi, vienādojumu, mēs iegūt, noteiks vienā plaknē, ir vienīgais leņķis φ vienādojumā cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Tas tiks aizstāts ar π-φ.

No perpendikulāru plakni vienādojumu

Called perpendikulārs plaknei, starp kuru leņķis ir 90 grādi. Izmantojot materiālu izmantojot iepriekš minēto, mēs varam atrast vienādojumu plaknē, kas perpendikulāra uz otru. Pieņemsim, mums ir divas lidmašīnas: AX + By + Cz + D = 0, un + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Mēs varam teikt, ka tie ir perpendikulāras, ja cos = 0. Tas nozīmē, ka NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Paralēlas plaknes vienādojumu

Tā atsaucās uz divām paralēlām plaknēm, kuras satur punktus kopīgs.

Nosacījums no paralēlās plaknēs (to vienādojumi ir tāds pats kā iepriekšējā punktā) ir tāds, ka vektori N un N¹, kas ir perpendikulāra pret tiem, kolineāri. Tas nozīmē, ka šādi nosacījumi ir izpildīti samērīgumu

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Ja proporcionālo termini tiek paplašināts - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

tas norāda, ka datu plaknē pats. Tas nozīmē, ka vienādojumu Ax + By + Cz + D = 0 un + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 aprakstīt vienā plaknē.

Attālums no punkta uz plaknes

Pieņemsim, mums ir P plakne, kura ir: (0). Tas ir nepieciešams, lai atrastu attālumu no punkta ar koordinātām (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Jums ir nepieciešams, lai šo vienādojumu ar lidmašīnu II normālu izskatu, lai padarītu to:

(Ρ, v) = P (r≥0).

Šajā gadījumā, ρ (x, y, z) ir rādiuss vektors mūsu punkts Q, kas atrodas uz n p - n ir garums perpendikulu, kas tika izlaists no nulles punktu, v - ir vienība vektors, kas ir izkārtoti virzienā a.

Atšķirība ρ-ρº rādiuss vektors no punktveida Q = (x, y, z), kas pieder pie n un rādiuss vektors no konkrētā punktā Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) ir tāds vektors, absolūtā vērtība projekcija, kas uz v ir vienāds ar attālumu d, kas ir nepieciešams, lai atrastu no Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) uz P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, bet

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = P (ρ ^0, v).

Tātad izrādās,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Tagad ir skaidrs, ka, lai aprēķinātu attālumu d no ₀ līdz Q P plakni, tas ir nepieciešams, lai izmantot parasto skats plaknes vienādojumu, pāreja pa kreisi p, un pēdējā vieta, x, y, z aizvietotājs (hₒ, uₒ, zₒ).

Tātad, mēs atrodam absolūto vērtību rezultātā izteiksmes, kas ir nepieciešams, d.

Izmantojot parametrus valodas, mēs iegūstam acīmredzamo:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (å ² + V² + s²).

Ja norādītais punkts Q ₀ ir otrā pusē P plakni kā izcelsme, tad starp vektora ρ-ρ ⁰ un v ir plats leņķis, tādējādi:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

Gadījumā, kad punkts Q ₀ kopā ar izcelsmes, kas atrodas tajā pašā pusē, U, tiek radīts šaurs leņķis, kas ir:

d = (ρ-ρ ^0, v) = P - (ρ ^0, v)> 0.

Rezultāts ir tāds, ka pirmajā gadījumā (P ^0, v)> p, otrajā (P ^0, v)

Un tā tangenss plakne vienādojums

Attiecībā uz lidmašīnu uz virsmas pieskares punkta Mº - plakne, kas satur visu iespējamo, kas pieskaras līkni caur šo punktu uz virsmas.

Ar šīs virsmas formu vienādojuma F (x, y, z) = 0 vienādojums tangenciālajā plaknē tangenss punktu Mº (hº, uº, zº) būtu:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Ja virsma ir iestatīts skaidri z = f (x, y), tad tangenciālajā plaknē ir aprakstīta ar vienādojumu:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Krustojumā divām plaknēm

In trīsdimensiju telpā ir koordinātu sistēma (taisnstūra) Oxyz, ņemot vērā, divām plaknēm P 'un P', kas pārklājas un nesakrīt. Tā kā jebkurā plaknē, kas ir taisnstūrveida koordinātu sistēmā, ko nosaka vispārēju vienādojumu, mēs pieņemam, ka n "un n" ir definēti ar vienādojumu A 'X + V'u S'z + + D' = 0 un A "+ B x '+ y ar "z + D" = 0. Šajā gadījumā mums ir normāla n '(A', B ', C') no plaknes P ', un normālā n "(A", B ", C") no plaknes P'. Tā kā mūsu lidmašīna netiek paralēli un nesakrīt, tad šie vektori nav kolineāri. Izmantojot valodu matemātiku, mums ir šis nosacījums var tikt rakstīts kā: n "≠ n" ↔ (A, B ', C') ≠ (koeficientu l * un ", λ * IN", λ * C "), λεR. Ļaujiet taisna līnija, kas atrodas krustojumā P "un P", būs apzīmēts ar burtu a, šajā gadījumā a = P "∩ P".

un - rinda, kas sastāv no daudziem punktiem (bieži) plaknēm p 'un p ". Tas nozīmē, ka koordinātes jebkurā punktā, kas pieder pie A līniju, ir vienlaicīgi izpildīt vienādojumu A 'X + V'u S'z + + D' = 0, un "x + B '+ C y" z + D "= 0. Tas nozīmē, ka koordinātas vietai būs īpašs risinājums no šādiem vienādojumiem:

Rezultāts ir tāds, ka risinājums (vispārējais) šīs vienādojumu sistēmas noteiks koordinātas katra punkti uz līnijas, kas darbojas kā Krustpunktā P "un P", un noteikt līniju koordinātu sistēmā Oxyz (taisnstūrveida) telpu.