Problēmas atrisināt, izmantojot vienādojumu. Matemātikas problēmu risināšana

Skolas matemātikas gaitā vienmēr ir problēmas. Daži no tiem ir uzbrukuši vairākos veidos, savukārt citiem ir nepieciešama kāda mīkla.

Ar vienādojumu palīdzību atrisinātās problēmas ir tikai no pirmā acu uzmetiena grūti. Ja jūs praksē, tad šis process sasniegs automatizāciju.

Ģeometriskās figūras

Lai saprastu jautājumu, jums ir jāsaprot būtība. Uzmanīgi izlasiet nosacījumu, labāk to atkārtoti izlasīt vairākas reizes. Problēmas vienādojumiem ir tikai no pirmā acu uzmetiena grūti. Apskatīsim piemēru, lai sāktu visvieglāk.

Ņemot vērā taisnstūri, jums ir jāatrod tā platība. Ņemot vērā: platums ir par 48% mazāks par garumu, taisnstūra perimetrs ir 7,6 centimetri.

Matemātikas problēmu risināšana prasa rūpīgu lasīšanu, loģiku. Rūpēsimies kopā. Kas vispirms jāņem vērā? Apzīmē x garumu. Tāpēc mūsu vienādojumā platums ir 0,52x. Mums ir noteikts perimetrs - 7,6 centimetri. Atradīsim pusperperimetru, jo šis 7,6 centimetrus mēs dalāmies ar 2, tas ir vienāds ar 3,8 centimetriem. Mēs esam ieguvuši vienādojumu, ar kura palīdzību mēs atrodam garumu un platumu:

0.52x + x = 3.8.

Kad mēs iegūstam x (garums), nebūs grūti atrast 0,52x (platums). Ja mēs zinām šos divus daudzumus, tad atrodam atbildi uz galveno jautājumu.

Problēmas, kas atrisinātas ar vienādojuma palīdzību, nav tik sarežģītas, kā šķiet, mēs to varam saprast no pirmā piemēra. Mēs atradām garumu x = 2,5 centimetrus, platumu (mēs norādīsim y) 0,52x = 1,3 centimetri. Mēs pāriet uz laukumu. Tas atrodams no vienkāršas formulas S = x * y (taisnstūri). Mūsu problēma, S = 3,25. Tā būs atbilde.

Ļaujiet mums apsvērt dažus piemērus, kā atrisināt problēmas, meklējot zonu. Un šoreiz mēs ņemam taisnstūri. Mērķa problēmu atrisināšana perimetra atrašanā, dažādu skaitļu laukums ir diezgan bieži. Mēs izlasām problēmas stāvokli: tiek sniegts taisnstūris, tā garums ir 3,6 cm lielāks par platumu, kas ir 1/7 no skaitļa perimetra. Atrodiet šo taisnstūra laukumu.

Ir ērti apzīmēt mainītāja x platumu un ( x + 3,6) centimetra garumu. Atradīsim perimetru:

P = 2x + 3.6 .

Mēs nevaram atrisināt vienādojumu, jo tajā ir divi mainīgie. Tāpēc mēs atkal skatāmies uz šo nosacījumu. Tas norāda, ka platums ir 1/7 no perimetra. Mēs iegūstam vienādojumu:

1/7 (2x + 3.6) = x .

Lai nodrošinātu risinājumu, reiziniet katru vienādojuma daļu ar 7, lai mēs atbrīvotos no frakcijas:

2x 3,6 = 7x.

Pēc šķīduma iegūstam x (platums) = 0,72 centimetrus. Zinot platumu, mēs atrodam garumu:

0,72 + 3,6 = 4,32 cm.

Tagad mēs zinām garumu un platumu, atbildam uz galveno jautājumu par to, kas ir vienāds ar taisnstūra laukumu.

S = x * y , S = 3,1104 cm.

Caurules ar pienu

Problēmu risināšana ar vienādojumu palīdzību rada skolēniem daudz grūtību, neskatoties uz to, ka šī tēma sākas ceturtajā klasē. Ir daudz piemēru, mēs paskatījāmies atrast skaitļu laukumu, tagad nedaudz novirzījies no ģeometrijas. Apskatīsim vienkāršus uzdevumus ar tabulēšanu, viņi vizuāli palīdzēs: tādēļ dati, kas palīdz risinājumu, ir labāk redzami.

Uzaiciniet bērnus lasīt problēmas stāvokli un izveidojiet tabulu, lai palīdzētu veidot vienādojumu. Lūk, nosacījums: ir divas kannas, pirmajās trīs reizes vairāk piena nekā otrajā. Ja pirmais ielej piecus litrus otrajā, piens būs vienādi sadalīts. Jautājums: cik daudz piena bija katra varēja?

Lai palīdzētu risinājums, jums ir jāizveido tabula. Kas tam vajadzētu izskatīties?

Risinājums

	Tas bija	Kļuvis
1 var	3x	3x5
2 kannas	X	X + 5

Kā tas palīdzēs formulēt vienādojumu? Mēs zinām, ka piena rezultātā ir kļuvis vienāds, tāpēc vienādojums izskatīsies šādi:

3x-5 = x + 5;

2x = 10;

X = 5.

Otrajā barā mēs atradām sākotnējo piena daudzumu, kas nozīmē, ka pirmajā bija piena daudzums 5 * 3 = 15 litri.

Tagad mazliet skaidrojums par tabulas apkopošanu.

Kāpēc mēs izraudzījām pirmo barību 3x: stāvoklī ir noteikts, ka otrais piena lielgabals ir trīs reizes mazāks. Tad mēs lasām, ka no pirmā tvertnes tika izvadīti 5 litri, tāpēc tas kļuva 3x-5 , un otrajā vietā tie izlej: x + 5 . Kāpēc mēs šos nosacījumus esam pielīdzinājuši? Uzdevuma stāvoklī tiek teikts, ka piens ir kļuvis vienāds.

Tātad mēs saņemam atbildi: pirmais lielgabals ir 15 litri, otrais - 5 litri piena.

Dziļuma noteikšana

Pēc problēmas stāvokļa: pirmās dziļuma dziļums ir par 3,4 metriem lielāks nekā otrais. Pirmā urna tika palielināta par 21,6 metriem, otra - trīs reizes, pēc šīm darbībām akas ir vienādas dziļums. Ir nepieciešams aprēķināt, kāds dziļums katrai no tām bija sākotnēji.

Problēmu risināšanas metodes ir daudzas, var veikt darbības, izveidot vienādojumus vai to sistēmu, bet otrā iespēja ir visērtākā. Lai pārietu uz risinājumu, mēs izveidojam tabulu, tāpat kā iepriekšējā piemērā.

Risinājums

	Tas bija	Kļuvis
1 labi	X + 3.4	X + 3,4 + 21,6
2 akas	X	3x

Tagad mēs pievēršamies formulējumam vienādojumā. Tā kā urbumi ir vienāda dziļuma, tas ir šāds:

X + 3,4 + 21,6 = 3x;

X = 3x = -25;

-2x = -25;

X = -25 / -2;

X = 12,5

Mēs atradām sākotnējo dziļumu otro labi, tagad mēs varam atrast pirmo:

12,5 + 3,4 = 15,9 m.

Pēc veikto darbību mēs pierakstām atbildi: 15,9 m, 12,5 m.

Divi brāļi

Ņemiet vērā, ka šis uzdevums atšķiras no visiem iepriekšējiem, jo sākotnēji stāvoklis bija vienāds objektu skaits. Pamatojoties uz to, papildu tabula ir izveidota apgrieztā secībā, tas ir, no "tas kļuva" līdz "bija".

Stāvoklis: diviem brāļiem tika piešķirts vienāds skaits riekstu, bet vecākais deva savu brāli 10, pēc tam jaunāki rieksti kļuva pieci reizes lielāki. Cik daudz riekstu ir katram zēnam?

Risinājums

	Tas bija	Kļuvis
Vecākais	Х + 10	X
Jaunāki	5x - 10	5x

Mēs veidojam vienādojumu:

X + 10 = 5x-10;

-4x = -20;

Х = 5 - tas kļuva par riekstiem vecāka brāļa;

5 * 5 = 25 - jaunākais brālis.

Tagad jūs varat pierakstīt atbildi: 5 rieksti; 25 rieksti.

Iepirkšanās

Skolai ir jāpērk grāmatas un piezīmju grāmatiņas, vispirms ir dārgāka nekā otrā cena 4,8 rubļos. Ja jūs iegādājāties tādu pašu naudas summu ar piecām grāmatām un divdesmit vienu piezīmju grāmatiņu, jums ir jāaprēķina, cik liela ir viena kopiju grāmata un viena grāmata.

Pirms risinājuma pieņemšanas ir vērts atbildēt uz šādiem jautājumiem:

• Kāda ir problēmas problēma?
• Cik viņi maksāja?
• Ko jūs pērkat?
• Kādas vērtības var izlīdzināt?
• Kas jums jāzina?
• Kāda ir x vērtība?

Ja jūs atbildējāt uz visiem jautājumiem, tad mēs pievērsīsimies risinājumam. Šajā piemērā x vērtību var uzskatīt par vienas piezīmju grāmatiņas cenu un grāmatu izmaksas. Apskatīsim divus iespējamos variantus:

1. X ir izmaksas par vienu piezīmju grāmatiņu, tad x + 4,8 ir grāmatas cena. Tad mēs iegūstam vienādojumu: 21x = S (x + 4.8).
2. X ir grāmatas cena, tad x ir 4,8 ir piezīmjdatora cena. Vienādojums ir šāds: 21 (x - 4.8) = 5x.

Jūs varat izvēlēties sev ērtāku variantu, pēc tam atrisināt divus vienādojumus un salīdzināt atbildes, tām visumā jāsakrīt.

Pirmais ceļš

Pirmā vienādojuma risinājums:

21x = 5 (x + 4,8);

4,2х = х + 4,8;

4,2х - х = 4,8;

3,2х = 4,8;

Х = 1,5 (rubļi) - vienas piezīmjdatora izmaksas;

4,8 + 1,5 = 6,3 (rubļi) - vienas grāmatas izmaksas.

Vēl viens veids, kā atrisināt šo vienādojumu (atvēršanas iekavas):

21x = 5 (x + 4,8);

21x = 5x + 24;

16x = 24;

Х = 1,5 (rubļi) - vienas piezīmjdatora izmaksas ;

1,5 + 4,8 = 6,3 (rubļi) - vienas grāmatas izmaksas.

Otrais ceļš

5x = 21 (x = 4,8);

5x = 21x-100.8;

16x = 100.8;

Х = 6,3 (rubļi) - izmaksas par vienu grāmatu;

6.3 - 4.8 = 1,5 (rubļi) - vienas piezīmjdatora izmaksas.

Kā redzams no piemēriem, atbildes ir identiskas, tādēļ problēma tiek atrisināta pareizi. Raugoties uz risinājuma pareizību, mūsu piemērā atbildēm nevajadzētu būt negatīvām.

Ir arī citas problēmas, kuras var atrisināt ar vienādojuma palīdzību, piemēram, kustībā. Turpmāk aplūkosim šos piemērus sīkāk.

Divas automašīnas

Šajā sadaļā mēs apspriedīsim kustības uzdevumus. Lai varētu tos atrisināt, jums jāzina šis noteikums:

S = V * T,

S ir attālums, V ir ātrums, un T ir laiks.

Mēģināsim izskatīt piemēru.

Divas automašīnas vienlaikus atstāja no punkta A uz punktu B. Pirmais brauca ar visu attālumu ar tādu pašu ātrumu, ceļa otrajā pusē bija braukšanas ātrums 24 km / h, bet otrais - 16 km / h. Ir nepieciešams noteikt pirmā autovadītāja ātrumu, ja B punktā viņi ierodas vienlaicīgi.

Kas nepieciešams, lai izveidotu vienādojumu: galvenais mainīgais V ₁ (pirmās automašīnas ātrums), sekundārais: S - ceļš, T ₁ - laiks pirmās automašīnas ceļā. Vienādojums: S = V ₁ * T _{1 .}

Tālāk: otrā automašīna pirmā ceļa puse (S / 2) brauca ar ātrumu V ₂ = 24 km / h. Mēs iegūstam izteiksmi: S / 2 = 24 * T _{2 .}

Nākamā tā brauciena daļa, kad viņš brauca ar ātrumu V ₃ = 16 km / h. Mēs iegūstam S / 2 = 16 * T ₃ .

Papildus nosacījumam ir skaidrs, ka mašīnas ieradās vienā un tajā pašā laikā, tātad T ₁ = T ₂ + T ₃ . Tagad mums ir jāizsaka mainīgie lielumi T ₁ , T ₂ , T ₃ no mūsu iepriekšējiem nosacījumiem. Mēs iegūstam vienādojumu: S / V ₁ = (S / 48) + (S / 32).

S tiek pieņemts kā vienotība, un mēs atrisinām vienādojumu:

1 / V ₁ = 1/48 + 1/32;

1 / V ₁ = (2/96) + (3/96);

1 / V ₁ = 5/96;

V ₁ = 96/5;

V ₁ = 19,2 km / h.

Šī ir atbilde. Problēmas, kas atrisinātas izmantojot vienādojumu, ir sarežģīti tikai no pirmā acu uzmetiena. Papildus iepriekš minētajam jūs varat izpildīt darba uzdevumus, kas tas ir, apsveriet nākamajā sadaļā.

Darba izaicinājums

Lai atrisinātu šāda veida uzdevumus, jums jāzina formula:

A = VT

Kur A ir darbs, V ir produktivitāte.

Lai iegūtu sīkāku aprakstu, jums jāpiedāvā piemērs. Tēma "Problēmu risināšana ar vienādojumu" (6. pakāpe) var ietvert šādas problēmas, jo tas ir daudz sarežģītāks līmenis, taču mēs tomēr dodam piemēru iepazīšanai.

Rūpīgi izlasiet nosacījumu: divi strādnieki strādā kopā un plāno veikt divpadsmit dienas. Ir jānosaka, cik ilgi pirmajam darbinim būs jāpiepilda pati norma. Ir zināms, ka viņš trīs dienas veic otra darbinieka darba apjomu divas dienas.

Problēmu risināšanai vienādojumu formulēšanā rūpīgi jānovērtē stāvoklis. Pirmā lieta, ko mēs saprotam no uzdevuma, ka darbs nav definēts, nozīmē, mēs to uztveram kā vienību, tas ir, A = 1 . Ja problēma attiecas uz noteiktu daļu vai litru skaitu, tad no šiem datiem ir jāņem darbs.

Šajā posmā mēs apzīmēim pirmā un otrā darba ņēmēja produktivitāti attiecīgi V ₁ un V _2, un ir iespējams panākt šādu vienādojumu:

1 = 12 (V ₁ + V ₂ ) .

Ko mums parāda šis vienādojums? Ka visu darbu divas stundas veic divi cilvēki.

Tālāk mēs varam teikt: 2V ₁ = 3V ₂ . Tā kā pirmās divas dienas tāpat kā otrā no trim. Mēs esam ieguvuši vienādojumu sistēmu:

1 = 12 (V1 + V2);

2V ₁ = 3V _2.

Pamatojoties uz sistēmas risinājumu, tika iegūts vienādojums ar vienu mainīgo:

1 - 8V ₁ = 12V _1;

V ₁ = 1/20 = 0,05.

Tas ir pirmā darbinieka darba ražīgums. Tagad mēs varam atrast laiku, par kuru pirmā persona spēs tikt galā ar visu darbu:

A = V1 * T1 _;

1 = 0,05 * T ₁ ;

T ₁ = 20.

Tā kā diena tika ņemta par laika vienību, atbilde ir: 20 dienas.

Problēmas pārformulēšana

Ja esat apguvis prasmi atrisināt satiksmes problēmas, un jums ir grūtības ar darba uzdevumiem, tad ir iespējams iegūt satiksmi no darba. Kādā veidā? Ja mēs ņemam pēdējo piemēru, nosacījums ir šāds: Oļegs un Dima pārvietojas viens pret otru, viņi sanāk pēc 12 stundām. Cik daudz Olegs pārvarēs šo ceļu patstāvīgi, ja ir zināms, ka pēc divām stundām viņš trīs stundas dodas ceļā, kas vienāds ar Dima.